2017-02-25

腸内環境をよくするためには？オクラがおすすめ？オリーブオイルは？

いいえ。徳を積むことです。

オクラ (266)

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2017-02-25

代数的コンパクト群とその周辺

アーベル群

とあるところで講義をしたのでその内容を適当にまとめたものです。

適当にと言いますが、割と適当です。

www.dropbox.com

代数的コンパクト群を勉強する過程でどうしても必要になったのはアーベル群の位相ですが、この辺は調べるといろいろ出てきそうだなあと思いました。

例えば $\mathbb{Z}$ -進位相や $p$ -進位相は線形位相のひとつで、1-Ulm部分群でHausdorff性が見えたり何かと代数的なものでいろいろ分かったりするのですが、一方で例えば1次元トーラス $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の位相はこういう位相とは全然違う位相です。

被約代数的コンパクト群であることの必要十分条件は $\mathbb{Z}$ -進完備であることですが、その割には代数的コンパクト周りの性質を示すのに本質的に使われる位相的なことは $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ のコンパクト性だったりするのでわけがわかりません。

とにかく $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ という存在が謎でならないです。どっから湧いてきたんだ一体。

Abelian Groups (Springer Monographs in Mathematics)

作者: László Fuchs
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実はこの本にはあんまり線形位相方面は載っていないです。

第一可算公理を満たす線形位相は具体的に距離化できるようなのですが......

トーラスペットの知恵寒いときの健康維持に

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トーラスでフレンズの体が温まるらしい。

2017-02-20

食の悦びを生の象徴であるとするならトイレは死の象徴です

人間・挨拶

今日トイレをして思ったことです。

人は死の場面を覆い隠してきましたが、
それでもなお毎日トイレをする自分自身を目撃しなければならないということはまた、

人間が死と隣り合わせの存在であることの象徴であると考えます。

しかしそんなこととは比べ物にならないくらい温水ウォシュレットは気持ちがよいですし、

おいしい食事は、玉子豆腐の滑らかさや、
揚出し豆腐のジューシーな味わいとして私たちの世界に立ち現れてきます。

生の悦びに感謝し、楽しくトイレをすることが大切であると、私は考えます😊

2017-02-19

我が家にAbelian Groupsが届きました

けものフレンズ

なにこれ！

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なにこれなにこれ！

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すごーい！

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たーのしー！

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ふしぎ！

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としょかん！(蔵書数:1) f:id:shannon_mth:20170219105522j:plain

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2017-02-17

ウォシュレットのない家への引っ越しを決めることは、未知の大陸へと踏み出すことに似ています

人間・挨拶

下宿の引越しをして三月から新たな生活をしようと思います。

すべてが希望に満ち溢れた日々、

しかし心配なのは新しい下宿にウォシュレットがないことです。

これは未知の大陸へと踏み出すことに似ています。

住み慣れた大陸を離れるということは生を見つめなおすということであり、

温かくないトイレは人に死の概念を直視させます。

しかしそれは大切なことだと思います。

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2017-02-16

余巡回群の分類

アーベル群

久しぶりの更新になります。

なぜ更新しなかったかというと、ウォシュレットのない家に引っ越すべきか否かを深く悩んでいたからです。

巡回群の概念は人間になじみのある概念です。有限巡回群と無限巡回群があり分類は簡単です。

実はこの概念には双対概念があります。

定義

アーベル群 $C$ が $c\in C$ を生成元とする巡回群であるとは, 像に $c$ を含むような任意の射 $\phi: A\to C$ が全射であることである.
アーベル群 $C$ が $c\in C$ を余生成元とする余巡回群であるとは, 核に $c$ を含まないような任意の射 $\phi: C\to A$ が単射であることである.

この定義だと例を思い浮かべづらいですが、余巡回群というクラスは巡回群と同様にそんなに広いクラスではありません。

次の主張を見ると例を思い浮かべることができると思います。

命題

$C\neq 0$ が $c$ を余生成元とする余巡回群 $\Leftrightarrow$ $C$ はただ1つの0でない最小の部分群を持つ.

証明

$C$ が余巡回的であるとする. 任意の $C$ の0でない部分群はある $C$ からの射の核で表せるからその射は単射でなく, $c$ はその射の核に入る. すなわち $c$ は任意の0でない部分群に含まれる. よってすべての部分群の共通部分は0でない.

逆に $C$ が0でない最小の部分群 $C'$ を持つとする. $C'$ は部分群を持たない, すなわち素数位数の巡回群である. その生成元を $c$ とする. $C$ からの射が単射でなければ, その核は $C$ の部分群であるから $C'$ を含み $c$ を含む. よって $c$ は余生成元である.

$\square$

この主張を見ると、例を思い浮かべることができます。

例

巡回 $p$ -群 $\mathbb{Z}/p^k$ は0でない最小の部分群 $\langle p^{k-1} \rangle$ を持つから余巡回的。
Prufer群 $\mathbb{Z}(p^{\infty})\cong \mathbb{Z}[1/p$ ] $/ \mathbb{Z}$ は0でない最小の部分群 $\langle \overline{1/p}\rangle$ を持つから余巡回的。
$p$ -群でない有限巡回群は(0でない)極小部分群をいくつも持つから余巡回的でない。

余巡回群を分類してみましょう。

いま上に挙げたものは余巡回的ですが、実はこんだけしかありません。

命題

群 $C\neq 0$ が余巡回的 $\Leftrightarrow$ $C$ は巡回 $p$ -群かPrufer群 $\mathbb{Z}(p^{\infty})$

証明

$C$ が余巡回的なとき, $c$ をその余生成元とする. $c$ はすべての $C$ の部分群に含まれ, $c$ の位数は素数である(これを $p$ とする).

$C$ が位数無限の元 $a$ を持つとすると $a$ で生成される部分群は位数有限の元を含み得ないから $c$ を含まず, $c$ が余生成元であることに反する.

よってすべての元は有限位数を持つ. 同じ理由で全ての群は $p$ 冪位数を持ち, $C$ は $p$ -群である.

ここから「 $C$ が位数 $p^n$ の部分群を持つなら一意であってその部分群は巡回群である」ことを $n$ についての帰納法で示す.

$n=1$ のときは $c$ で生成される部分群が位数 $p$ の最小の部分群だから正しい.

$n$ 以下についての主張をすべて仮定する. 位数 $p^{n+1}$ の部分群が2つあるとし, これらを $A, B$ とする.

帰納法の仮定によって位数 $p^n$ の部分群 $C_n$ を持つ(生成元を $c_n$ とする). $a\in A\backslash C_n, b\in B\backslash C_n$ と取るとこれらの位数は $p^{n+1}$ であるから $a, b$ を選ぶことで $pa=pb=c_n$ とできる.
実際, 任意に $a$ を取ったとき $pa$ は位数 $p^n$ の元だから位数 $p^n$ の部分群の一意性より, ある整数 $m$ で $mc_n$ と書ける.
よって $p(a-b)=0$ . 帰納法の仮定よりある( $p$ と互いに素な)整数 $l$ で $a-b=lc$ , さらに $p$ と互いに素な $l'$ で

$lc=l'p^{n-1}c_n$ と書ける.

よって $t\in \mathbb{Z}$ で

$a=b+tc_n=b+tpb, b=a+tpa$

と書け, $a\in \langle b \rangle, b\in \langle a \rangle$ であり $\langle a \rangle=\langle b \rangle$
どちらも位数 $p^{n+1}$ であるから, $a, b$ はそれぞれ $A, B$ を生成し $A=B$ .

かくして $C$ は有限部分巡回群の増大列の和集合によって書ける. 有限の長さの増大列の和集合で書けるならこれは巡回 $p$ -群であり, 無限の長さの増大列の和集合で書けるならこれはPrufer群 $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ である.