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余巡回群の分類

久しぶりの更新になります。

なぜ更新しなかったかというと、ウォシュレットのない家に引っ越すべきか否かを深く悩んでいたからです。

 

巡回群の概念は人間になじみのある概念です。有限巡回群と無限巡回群があり分類は簡単です。

実はこの概念には双対概念があります。

 

定義

  • アーベル群 C c\in Cを生成元とする巡回群であるとは, 像に cを含むような任意の射 \phi: A\to C全射であることである. 
  • アーベル群 C c\in Cを余生成元とする巡回群であるとは, 核に cを含まないような任意の射 \phi: C\to A単射であることである.

この定義だと例を思い浮かべづらいですが、余巡回群というクラスは巡回群と同様にそんなに広いクラスではありません。

 

次の主張を見ると例を思い浮かべることができると思います。

 

命題

 C\neq 0 cを余生成元とする余巡回群  \Leftrightarrow  Cはただ1つの0でない最小の部分群を持つ. 

証明

 Cが余巡回的であるとする. 任意の Cの0でない部分群はある Cからの射の核で表せるからその射は単射でなく,  cはその射の核に入る. すなわち cは任意の0でない部分群に含まれる. よってすべての部分群の共通部分は0でない.

逆に Cが0でない最小の部分群 C'を持つとする.  C'は部分群を持たない, すなわち素数位数の巡回群である. その生成元を cとする.  Cからの射が単射でなければ, その核は Cの部分群であるから C'を含み cを含む. よって cは余生成元である.

 \square

 

この主張を見ると、例を思い浮かべることができます。

 

  • 巡回 p-群 \mathbb{Z}/p^kは0でない最小の部分群 \langle p^{k-1} \rangleを持つから余巡回的。
  • Prufer群 \mathbb{Z}(p^{\infty})\cong \mathbb{Z}[1/p] / \mathbb{Z}は0でない最小の部分群 \langle \overline{1/p}\rangleを持つから余巡回的。
  •  p-群でない有限巡回群は(0でない)極小部分群をいくつも持つから余巡回的でない。

巡回群を分類してみましょう。

いま上に挙げたものは余巡回的ですが、実はこんだけしかありません

 

命題

 C\neq 0が余巡回的  \Leftrightarrow  Cは巡回 p-群かPrufer群 \mathbb{Z}(p^{\infty})

 

証明

 Cが余巡回的なとき,  cをその余生成元とする.  cはすべての Cの部分群に含まれ,  cの位数は素数である(これを pとする).

 Cが位数無限の元 aを持つとすると aで生成される部分群は位数有限の元を含み得ないから cを含まず,  cが余生成元であることに反する.

よってすべての元は有限位数を持つ. 同じ理由で全ての群は p冪位数を持ち,  C p-群である.

ここから「 Cが位数 p^nの部分群を持つなら一意であってその部分群は巡回群である」ことを nについての帰納法で示す.

 n=1のときは cで生成される部分群が位数 pの最小の部分群だから正しい.

 n以下についての主張をすべて仮定する. 位数 p^{n+1}の部分群が2つあるとし, これらを A, Bとする.

帰納法の仮定によって位数 p^nの部分群 C_nを持つ(生成元を c_nとする).  a\in A\backslash C_n, b\in B\backslash C_nと取るとこれらの位数は p^{n+1}であるから a, bを選ぶことで pa=pb=c_nとできる.
実際, 任意に aを取ったとき paは位数 p^nの元だから位数 p^nの部分群の一意性より, ある整数 m mc_nと書ける. 
よって p(a-b)=0. 帰納法の仮定よりある( pと互いに素な)整数 l a-b=lc, さらに pと互いに素な l'

 lc=l'p^{n-1}c_nと書ける.

よって t\in \mathbb{Z}

 a=b+tc_n=b+tpb, b=a+tpa

と書け,  a\in \langle b \rangle, b\in \langle a \rangleであり \langle a \rangle=\langle b \rangle
どちらも位数 p^{n+1}であるから,  a, bはそれぞれ A, Bを生成し A=B.

かくして Cは有限部分巡回群の増大列の和集合によって書ける. 有限の長さの増大列の和集合で書けるならこれは巡回 p-群であり, 無限の長さの増大列の和集合で書けるならこれはPrufer群 \mathbb{Z}(p^{\infty})である.

 

ということで分類は終わりました。思った以上に少なくてつまらなかったかもしれませんが、Łośによる少し意外な事実があります。

 

定理 (Łoś)

任意のアーベル群は余巡回群の直積に埋め込まれる。

 

さらにこの埋め込みが分裂するような群のクラスはアーベル群における重要なクラスと一致します。

 

命題

 A代数的コンパクト群であるとは Aがあるコンパクト位相アーベル群の(位相群としてではなくアーベル群としての)直和因子になることを言う. ただし T_0を仮定する.

 Aが代数的コンパクト  \Leftrightarrow  Aが余巡回群の直積の直和因子

 

週末に数学をする何らかのイベントがあるので代数的コンパクト群の話をしようと思います。

 

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誰に需要があるのか分からないのですが。

 

 

 

 

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