余巡回群の分類
久しぶりの更新になります。
なぜ更新しなかったかというと、ウォシュレットのない家に引っ越すべきか否かを深く悩んでいたからです。
巡回群の概念は人間になじみのある概念です。有限巡回群と無限巡回群があり分類は簡単です。
実はこの概念には双対概念があります。
定義
この定義だと例を思い浮かべづらいですが、余巡回群というクラスは巡回群と同様にそんなに広いクラスではありません。
次の主張を見ると例を思い浮かべることができると思います。
命題
がを余生成元とする余巡回群 はただ1つの0でない最小の部分群を持つ.
証明
が余巡回的であるとする. 任意のの0でない部分群はあるからの射の核で表せるからその射は単射でなく, はその射の核に入る. すなわちは任意の0でない部分群に含まれる. よってすべての部分群の共通部分は0でない.
逆にが0でない最小の部分群を持つとする. は部分群を持たない, すなわち素数位数の巡回群である. その生成元をとする. からの射が単射でなければ, その核はの部分群であるからを含みを含む. よっては余生成元である.
この主張を見ると、例を思い浮かべることができます。
例
- 巡回-群は0でない最小の部分群を持つから余巡回的。
- Prufer群]は0でない最小の部分群を持つから余巡回的。
- -群でない有限巡回群は(0でない)極小部分群をいくつも持つから余巡回的でない。
余巡回群を分類してみましょう。
いま上に挙げたものは余巡回的ですが、実はこんだけしかありません。
命題
群が余巡回的 は巡回-群かPrufer群
証明
が余巡回的なとき, をその余生成元とする. はすべてのの部分群に含まれ, の位数は素数である(これをとする).
が位数無限の元を持つとするとで生成される部分群は位数有限の元を含み得ないからを含まず, が余生成元であることに反する.
よってすべての元は有限位数を持つ. 同じ理由で全ての群は冪位数を持ち, は-群である.
ここから「が位数の部分群を持つなら一意であってその部分群は巡回群である」ことをについての帰納法で示す.
のときはで生成される部分群が位数の最小の部分群だから正しい.
以下についての主張をすべて仮定する. 位数の部分群が2つあるとし, これらをとする.
帰納法の仮定によって位数の部分群を持つ(生成元をとする). と取るとこれらの位数はであるからを選ぶことでとできる.
実際, 任意にを取ったときは位数の元だから位数の部分群の一意性より, ある整数でと書ける.
よって. 帰納法の仮定よりある(と互いに素な)整数で, さらにと互いに素なで
と書ける.
よってで
と書け, であり
どちらも位数であるから, はそれぞれを生成し.
かくしては有限部分巡回群の増大列の和集合によって書ける. 有限の長さの増大列の和集合で書けるならこれは巡回-群であり, 無限の長さの増大列の和集合で書けるならこれはPrufer群である.
ということで分類は終わりました。思った以上に少なくてつまらなかったかもしれませんが、Łośによる少し意外な事実があります。
定理 (Łoś)
任意のアーベル群は余巡回群の直積に埋め込まれる。
さらにこの埋め込みが分裂するような群のクラスはアーベル群における重要なクラスと一致します。
命題
群が代数的コンパクト群であるとはがあるコンパクト位相アーベル群の(位相群としてではなくアーベル群としての)直和因子になることを言う. ただしを仮定する.
が代数的コンパクト が余巡回群の直積の直和因子
週末に数学をする何らかのイベントがあるので代数的コンパクト群の話をしようと思います。
Abelian Groups (Springer Monographs in Mathematics)
- 作者: László Fuchs
- 出版社/メーカー: Springer
- 発売日: 2015/12/18
- メディア: ハードカバー
- この商品を含むブログを見る
誰に需要があるのか分からないのですが。
けものフレンズ ‐ようこそジャパリパークへ!‐(1)<けものフレンズ ‐ようこそジャパリパークへ!‐> (角川コミックス・エース)
- 作者: フライ
- 出版社/メーカー: KADOKAWA / 角川書店
- 発売日: 2016/12/26
- メディア: Kindle版
- この商品を含むブログを見る
ようこそジャパリパークへ!