アーベル群の圏はlocally finitely presentable categoryです

昨日気付いて衝撃だったんですが、

僕が人生で一番最初に買った圏論の本の著者はずっと名前が読めませんでした。

Ji......jiri ? ジリ? なんか i の上に✓が付いてて読み方が分からないし、

みたいなノリだったのですがその本の著者、なんと Jiří Adámek だったのです。

定義

locally smallでfiltered colimitを持つ圏 $\mathcal{C}$ のobject c がfinitely presentable object (あるいはcompact object)であるとは,

${\bf Sets}$ 値関手 ${\rm Hom}(c, -): \mathcal{C}\to {\bf Sets}$ がfiltered colimitを保存するときを言う.

filtered colimitの定義についてはnLab参照 filtered limit in nLab

実はfiltered colimitはdirected colimit (つまり帰納極限)だと思うことができるので、directed colimitと思うことにしましょう。

このブログはアーベル群と腸についてのブログなので、アーベル群の圏 ${\bf Ab}$ について考えてみます。アーベル群の場合圏論的な一般論から導かれることはもっと初等的に証明できることの方が多そうですが、アーベル群の圏について圏論的な何らかを考えるときには一般論が便利なこともありそうです。

命題

${\bf Ab}$ において, 群がfinitely presentable objectであることと有限生成であることは同値.

定義通り言い換えると次の主張になります。

命題

アーベル群 $A$ が有限生成 $\Leftrightarrow$ 任意の帰納極限で書ける群 $\displaystyle \lim_{\longrightarrow}B_j$ について

$\displaystyle {\rm Hom}(A, \lim_{\longrightarrow}B_j)\cong \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, B_j)$

片方はホモロジー代数の本によく載っているように思います。

アーベル群 ( $\mathbb{Z}$ -加群) で考える限り有限生成でよいですが, $R$ -加群では有限表示にする必要があります。 $R$ -加群の場合を意識してできる限り圏論的な証明を心がけます。

証明

( $\Rightarrow$ )

$A$ が有限生成とすると完全列 $\mathbb{Z}^{\oplus n}\to A\to 0$ があり, さらに

$\mathbb{Z}$ はNoether環だから完全列 $\mathbb{Z}^{\oplus m}\to \mathbb{Z}^{\oplus n}\to A\to 0$ がある.

$\displaystyle B:=\lim _{\longrightarrow}B_j$ とすると, colimitの普遍性から縦の射が生える.

$\displaystyle 0 \to \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, B_j)\to \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus n}, B_j)\to \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus m}, B_j)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow$

$0 \to \ \ \ {\rm Hom}(A, B) \ \ \ \ \ \to \ \ \ \ \ {\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus n}, B) \ \ \ \ \to \ \ \ \ \ \ {\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus m}, B)$

ここで右の2つの射は同型である:

$\displaystyle \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus n}, B_j)\cong \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(\mathbb{Z}, B_j)^n\cong (\lim _{\longrightarrow}{B_j})^n \cong {\rm Hom}(\mathbb{Z}^{\oplus n}, B)$

ここでfiltered colimitが有限極限と交換することを使ったことに注意する.

five-lemmaにより左端の下向きの射も同型である. よって ${\rm Hom}$ は帰納極限と交換する.

( $\Leftarrow$ )

$A$ のすべての有限生成部分加群たち $\{A_i\}_{i\in I}$ とその間の包含射からなる帰納系を考えると $A$ はこれらの帰納極限として表せる.

$\displaystyle {\rm Hom}(A, A) \cong {\rm Hom}(A, \lim _{\longrightarrow}A_i)$

仮定から

$\displaystyle {\rm Hom}(A, A) \cong \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$

と帰納極限が交換する. Homの左完全性から右辺の帰納極限を与える帰納系も包含射によって与えられているから, 帰納極限の構成からcoconeを与える射 $\displaystyle {\rm Hom}(A, A_i)\to\lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$ も単射になっていて $\displaystyle \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$ は $\displaystyle {\rm Hom}(A, A_i)$ たちの和集合になっている.

(こういうチェックをちゃんと書こうとも思うので気が向いたら随時書き足していきたいです)

$\displaystyle {\rm Hom}(A, A) \ \ \ \cong \ \ \ \ \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \uparrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nearrow\$

${\rm Hom}(A, A_i)$

において上向きの射は $A_i\hookrightarrow A$ のpostcomposition, 斜めの射は埋め込みとする. $1\in {\rm Hom}(A, A)$ に対応する $\displaystyle \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$ の元を像に含むような $\displaystyle {\rm Hom}(A, A_i)\hookrightarrow \lim _{\longrightarrow}{\rm Hom}(A, A_i)$ を選べば,

$1_A=(A\to A_i \hookrightarrow A)$ とでき, これは分裂射である.

よって, retractionが単射だから $A\cong A_i$ .

$A$ は有限生成である.

$\square$

はてなブログで図式が満足に書けないのがつらい......。

${\bf Ab}$ におけるfinitely presented objectが有限生成(有限表示)アーベル群であることが分かりました。アーベル群は有限生成部分群たちの帰納極限で書けるので

次の定義の条件を満たすことが分かります。

定義

圏 $\mathcal{C}$ がlocally finitely presentable categoryであるとは, 次の条件を満たすことを言う:

余完備である.
finitely presentable objectからなる $\mathcal{A}\subset \mathcal{C}$ があって、任意のobjectは $\mathcal{A}$ のobjectのfiltered colimitで書ける.

個人的には locally presentable categoryの随伴関手定理なんかが使えると ${\bf Ab}$ の反映的充満部分圏について考えるのが楽になったりならなかったりします。そういうのは真に圏論的なので初等的な議論から持ってくるのも難しいし、やはり圏論には圏論を、という感じがします。

こういう概念はこの本の一番最初に載っています。